\section{绪论}
\subsection{自动控制的基本概念}
控制：为了达到预期的目标，克服各种扰动的影响，对生产机械或过程中的某一个或某一些物理量进行的操作\\
被控对象、被控变量、干扰

\subsection{自动控制系统的基本形式结构}
\subsubsection{开环控制系统}
不将系统的输出量（即被控量）返回系统的输入端\\
无法消除由系统内部参数变化或外部扰动对系统被控量的影响

开环控制系统的优势：只要被控系统参数保持稳定，开环控制系统的输出就是稳定的

\subsubsection{闭环控制系统}
在控制系统中将被控量反馈到系统输入端，对控制作用产生影响

\paragraph{闭环控制系统的基本结构}
一些术语
\begin{enum}
    \item \emph{负反馈控制原理}：利用负反馈产生的偏差信号进行控制，最终使偏差消除或减小到容许范围内
    \item \emph{前向通道}：从系统输入量到系统输出量（被控量）之间的通道
    \item \emph{后向通道}：从系统被控量到系统输入端的反馈信号之间的通道
\end{enum}

闭环控制系统的基本组成如图 \ref{fig:闭环控制系统的基本组成} 所示
\begin{enum}
    \item 反馈元件：将当前被控量处理后反馈回输入端成为主反馈信号
    \item 比较元件：依据输入量与主反馈信号产生偏差信号
    \item 控制器件：依据偏差信号产生控制信号
    \item 被控系统：依据控制信号而行动，产生输出量（被控量），同时引入扰动
\end{enum}

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[width=0.75\textwidth]{figures/闭环控制系统的基本组成.png}
    \caption{闭环控制系统的基本组成}
    \label{fig:闭环控制系统的基本组成}
\end{figure}

\paragraph{闭环控制系统的增益}
最简单的闭环控制系统可由图 \ref{fig:闭环控制系统的基本方框图} 所示方框图表示\\
其中 $G,H$ 分别为前向通道和反馈通道的增益，则可得闭环增益为：
$$
\begin{aligned}
&y = G\cdot e\\
&e=r-b\\
&b=H \cdot y
\end{aligned}
\qquad\Longrightarrow\qquad 
M = \frac{y}{r} = \frac{G}{1+GH}
$$
\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[width=0.4\textwidth]{figures/闭环控制系统的基本方框图.png}
    \caption{闭环控制系统的基本方框图}
    \label{fig:闭环控制系统的基本方框图}
\end{figure}

\paragraph{闭环控制系统的扰动抑制}
对于被反馈通道包围的前向通道中产生的扰动，闭环控制系统可以有效抑制

如图 \ref{fig:受扰动的闭环控制系统} 所示，维持输入 $r$ 恒定，加扰动$n$前后，输出 $y$ 的改变量为：
$$
y_2 - y_1 = \frac{k_1k_2r + k_2n}{1+k_1k_2h} - \frac{k_1k_2r}{1+k_1k_2h} = \frac{k_2n}{1+k_1k_2h}
$$
可见：只要$k_1k_2h>0$ 反馈回路就可有效抑制被其所包围的扰动

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[width=0.65\textwidth]{figures/闭环控制系统的基本方框图（扰动）.png}
    \caption{受扰动的闭环控制系统}
    \label{fig:受扰动的闭环控制系统}
\end{figure}

\paragraph{闭环控制系统对各增益的灵敏度}
闭环控制系统的系统增益 $M$ 对被控对象的增益 $G$ 变化的敏感度定义为
$$
S^M_G = \frac{\partial M/M}{\partial G/G} = \frac{\partial M}{\partial G} \frac{G}{M} = \frac{1}{1+GH}
$$
闭环控制系统的系统增益 $M$ 对反馈贿赂增益 $H$ 变化的敏感度定义为
$$
S^M_H = \frac{\partial M/M}{\partial H/H} = \frac{\partial M}{\partial H} \frac{H}{M} = -\frac{GH}{1+GH}
$$
在所关心的大部分情况下有 $GH\gg 1$，此时$|S^M_G| \to 0,\, |S^M_H| \to 1$，因此：\\
闭环控制系统对被控对象参数的灵敏度较低，对反馈增益的灵敏度较高

\paragraph{闭环控制系统的劣势}
闭环控制系统的劣势主要有：
\begin{enum}
    \item 反馈通道的存在使得闭环控制系统的复杂度高，成本高
    \item 系统增益受到损失
    \item 闭环控制系统有稳定性问题，可能造成系统等幅/增幅振荡
\end{enum}

\subsection{自动控制系统分类}
按照输入信号特征分类
\begin{enum}
    \item 恒值控制系统：输入恒定，输出应总保持在期望值附近，需增强系统抗扰动能力
    \item 随动控制系统：输入未知，输出跟随输入的变化而变化，需增强系统的跟踪能力，抗扰动次要
    \item 程序控制系统：输入信号按照预先规定的函数关系发生变化
\end{enum}

按照系统中传递的信号分类
\begin{enum}
    \item 连续控制系统：系统中各信号均为时间的连续函数，系统的运动规律可用微分方程描述
    \item 离散控制系统：系统中存在脉冲或数字编码的信号，系统的运动规律可用差分方程描述
\end{enum}

按照系统特性分类
\begin{enum}
    \item 线性控制系统：满足可加性、齐次性，可用线性微分/差分方程描述
    \item 非线性控制系统：一定条件下可在其工作点附近近似为线性控制系统
\end{enum}

按照系统参数特征分类
\begin{enum}
    \item 定常系统：系统响应与输入信号施加的时刻无关（时不变系统）
    \item 时变系统
\end{enum}

\subsection{对控制系统的基本要求与性能指标}
稳定性、快速性、准确性
\begin{enum}
    \item 稳定性：瞬态响应可以收敛到稳定值
    \item 瞬态性能：瞬态响应迅速而平顺
    \item 稳态性能：系统稳态误差小（控制精度高）
\end{enum}
\section{自动控制系统的数学模型}

\subsection{控制系统的微分方程}
\begin{quote}
相似系统：具有相同的数学模型的不同物理系统
\end{quote}

\begin{quote}
系统中独立储能元件的个数等于系统阶数
\end{quote}

\subsubsection{非线性控制系统的线性化}
对 $y=f(x)$ 在给定工况点 $x=x_0$ 附近泰勒级数展开并忽略非线性项，则在小范围内线性化\\
此时系统增益由随工况点变化而变化，称变增益系统
\begin{align*}
    &y=f(x) & &y=f(x_0) + f'(x_0)\cdot(x-x_0) \\
    &y=f(\xi,\eta) &
    &y=f(\xi_0,\eta_0) + \frac{\partial f({\xi_0,\eta_0})}{\partial \xi}\cdot (\xi-\xi_0) 
    + \frac{\partial f({\xi_0,\eta_0})}{\partial \eta} \cdot(\eta-\eta_0)
\end{align*}

\subsection{控制系统的传递函数}
传递函数：零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比
$$
G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)}
$$

若给出零初始条件，则：
$$
\mathscr L \left[ \frac{\d^n y(t)}{\d t^n} \right] = s^nY(s) - s^{n-1}y(0) - s^{n-2}y'(0) - \cdots - y^{(n-1)}(0)
\qquad\Longrightarrow\qquad 
\mathscr L \left[ \frac{\d^n y(t)}{\d t^n} \right] = s^n Y(s)
$$
则线性常系数微分方程可直接转化为传递函数
\begin{align*}
&\frac{\d^n y}{\d t^n} + a_{n-1} \frac{\d^{n-1}y}{\d t^{n-1}} + \cdots + a_0 y = 
b_m\frac{\d^m u}{\d t^m} + b_{m-1} \frac{\d^{m-1}u}{\d t^{m-1}} + \cdots + b_0 u\\
\Longrightarrow \quad &
G(s) = \frac{Y(s)}{X(s)} = \frac{b_ms^m+b_{m-1}s^{m-1} + \cdots + b_0}{s^n + a_{n-1}s^{n-1} + \cdots + a_0}
\end{align*}

对于传递函数的说明
\begin{enum}
    \item 传递函数只适用于线性时不变系统，与线性常系数微分方程一一对应
    \item 传递函数是在零初始条件下定义的
    \item 传递函数只表示输入输出关系，不表示中间变量
    \item 传递函数主要适用于单输入单输出系统，若有多个输入信号可采用叠加原理
    \item 传递函数是 $s$ 的有理分式，通常由于系统惯性分母的阶次 $n$ 大于分子阶数 $m$，此时称 $n$ 阶系统
\end{enum}

传递函数的表示形式
\begin{enum}
    \item 有理分式形式
        $$
        G(s) = \frac{Y(s)}{X(s)} = \frac{b_ms^m + \cdots + b_1s + b_0}{a_ns^n + \cdots + a_1s + a_0}
        $$
    \item 零极点形式
        $$
        G(s) = \frac{Y(s)}{X(s)} = \frac{b_m}{a_n} \cdot \frac{Q(s)}{P(s)} 
        = K_g \frac{\prod_{i=1}^m(s+z_i)}{\prod_{i=1}^n(s+p_i)}
        $$
        其中 $K_g = b_{m} / a_n$ 称为根轨迹增益
    \item 时间常数形式
        $$
        G(s) = K \frac{\prod_{i=1}^m (\tau_i s+1)}{\prod_{j=1}^n (T_{j}s + 1)}
        $$
\end{enum}

\begin{quote}
    若某某对零点/极点为共轭复数，这两项通常相乘合并为二次项（首1多项式、尾1多项式）
    \begin{align*}
        \frac{1}{(s+p_1)(s+p_2)} &= \frac{1}{s^2+2\zeta\omega_ns + \omega_n^2} &  &\text{首1多项式（零极点）}\\
        \frac{1}{(T_1s+1)(T_2s+1)} &= \frac{1}{T^2s^2 + 2\zeta Ts + 1}         &  &\text{尾1多项式（时间常数）}
    \end{align*}
\end{quote}

\subsubsection{典型环节的传递函数}
\paragraph{比例环节}
比例环节又称放大环节，放大系数为 $k$
\begin{align*}
    y(t) &= k x(t) ,\qquad t\ge 0\\
    G(s) &= \frac{Y(s)}{X(s)} = k
\end{align*}

单位阶跃响应：输出瞬间达到并稳定在 $y(t) = k$

\paragraph{积分环节}
积分环节的增益为 $k$，积分时间常数 $T=1/k$ 越小积分增益越大
\begin{align*}
    y(t) &= k\int_0^t x(t) \d t ,\qquad t\ge 0\\
    G(s) &= \frac{Y(s)}{X(s)} = \frac{k}{s} = \frac{1}{Ts}
\end{align*}
积分环节有一个极点 $z=0$

单位阶跃响应：输出由原始值线性增长至无穷

\paragraph{惯性环节}
惯性环节的增益为 $k$，时间常数为 $T$
\begin{align*}
    &T y'(t) + y(t) = kx(t), \quad t\ge 0\\
    &G(s) = \frac{Y(s)}{X(s)} = \frac{k}{Ts+1}
\end{align*}
惯性环节有一个极点 $z=-1/T$

单位阶跃响应：输出由原始值指数衰减到输入值并稳定

\paragraph{振荡环节}
振荡环节的阻尼比为 $\zeta$ ，无阻尼振荡频率为$\omega_n$
\begin{align*}
    &T^2 y''(t) + 2T\zeta y'(t) + y(t) = x(t) \\
    &G(s) = \frac{1}{T^2s^2 + 2\zeta Ts + 1} = \frac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta \omega_ns + \omega_n^2}
\end{align*}
在 $\zeta > 1$ 时可分节为两个惯性环节相乘，有两个实数极点\\
在 $0<\zeta<1$ 时有一堆共轭复数零点，此时单位阶跃响应为阻尼振荡靠近输入值并最终稳定

$\zeta$ 越大越趋向惯性环节且响应较慢，$\zeta$ 越小振荡越剧烈

\paragraph{微分环节}
微分环节有三种形式，分别称为纯微分、一阶微分、二阶微分，假定微分时间常数为 $\tau$
\begin{align*}
    y(t) &= k x'(t) & G(s) &= ks \\
    y(t) &= k\big[\tau x'(t) + x(t)\big] & G(s) &= k(\tau s + 1)\\
    y(t) &= k\big[\tau^2 x''(t) + 2\tau\zeta x'(t) + x(t)]  & G(s) &=k(\tau^2s^2 + 2\tau\zeta s + 1)
\end{align*}
微分环节无极点\\
纯微分无零点，一阶微分有一个实数零点，二阶微分有两个实数零点或一对共轭零点

一般来说微分环节不单独存在，通常有惯性环节等伴随存在

\paragraph{延迟环节}
延迟时间为 $\tau$
\begin{align*}
    &y(t) = r(t-\tau) \\
    &G(s) = \rme^{-\tau s}
\end{align*}

当 $\tau$ 较小时其传递函数可近似有理化
\begin{align*}
    \mathrm e^{-\tau s} &= \frac{1}{\rme^{\tau s}} \approx \frac{1}{1+\tau s} &
    \mathrm e^{-\tau s} &\approx 1 - \tau s
\end{align*}

\paragraph{其它环节}
其它环节通常具有在 $s$ 右半平面的极点，是不稳定环节

\subsection{方块图及其等效变换}
控制系统的方块图：表示系统中各变量的因果关系及对各变量进行的运算\\
由信号线、分支点、相加点、方块图单元组成

方块图的简化
\begin{enum}
\item 串联单元合并：传递函数相乘
\item 并联单元合并：传递函数相加
\item 反馈单元合并
    $$
    G_1(s) = \frac{G(s)}{1\mp G(s) H(s)}
    $$
\item 串联单元合并：传递函数相乘
\item 信号分支点或相加点的移动
\end{enum}

\begin{quote}
    相加点和分支点之间不宜互换位置，这样比较繁琐
\end{quote}

\subsubsection{典型系统的传递函数}

\paragraph{输出对输入的传递函数}
如图 \ref{fig:给定输入作用下的闭环系统的传递函数} 所示系统的输出对扰动的传递函数为
$$
\Phi(s) = \frac{Y(s)}{R(s)} = \frac{G_1G_2}{1 + G_1G_2H}
$$
\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[width=0.3\textwidth]{figures/给定输入作用下的闭环系统.png}
    \caption{给定输入作用下的闭环系统的传递函数}
    \label{fig:给定输入作用下的闭环系统的传递函数}
\end{figure}

\paragraph{输出对扰动的传递函数}
如图 \ref{fig:输出对扰动的传递函数} 所示系统的输出对扰动的传递函数为
$$
\Phi_{N}(s) = \frac{Y(s)}{N(s)} = \frac{G_2}{1 + G_1G_2H}
$$
\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[width=0.3\textwidth]{figures/输出对扰动的传递函数.png}
    \caption{输出对扰动的传递函数}
    \label{fig:输出对扰动的传递函数}
\end{figure}

\paragraph{误差对输入的传递函数}
如图 \ref{fig:给定输入作用下的闭环系统的传递函数} 所示系统的误差信号 $E(s)$ 对扰动的传递函数为
$$
\Phi_{\mathrm eR} = \frac{E(s)}{R(s)} = \frac{1}{1+G_1G_2H}
$$

\paragraph{误差对扰动的传递函数}
如图 \ref{fig:输出对扰动的传递函数} 所示系统的误差信号 $E(s)$ 对扰动的传递函数为
$$
\Phi_{\mathrm eN} = \frac{E(s)}{N(s)} = \frac{-G_2 H}{1+G_1G_2H}
$$

\paragraph{闭环系统的特征多项式}
对给定的闭环控制系统，其各种量之间的传递函数具有相同的分母，称为闭环控制系统的特征多项式
$$
1+G_1(s)G_2(s)H(s)
$$
称下式为闭环系统的特征方程，其解为系统的特征根或闭环极点
$$
1+G_1(s)G_2(s)H(s) = 0
$$

\subsection{信号流图}
\begin{enum}
    \item 输入结点（源点）
    \item 输出结点（阱点）
    \item 混合结点：相当于方块图中的信号的相加点与分支点
    \item 通路（开通路）
    \item 回路（闭通路）
    \item 互补接触回路：回路之间没有公共结点
\end{enum}

信号流图的等效变换：
\begin{enum}
    \item 串联支路合并
    \item 并联支路合并
    \item 回路消除
\end{enum}

信号流图的性质
\begin{enum}
    \item 结点表示系统中的变量（信号）
    \item 支路相当于乘法器
\end{enum}

\subsubsection{梅森增益公式}
用梅森增益公式可直接求得从输入结点到输出节点之间的总传递函数
$$
P = \frac{1}{\Delta} \sum_{k=1}^{n} P_{k} \Delta_k
$$
其中：
\begin{enum}
    \item $P$ 为总传递函数
    \item $n$ 为从输入结点到输出节点的前向通道总数
    \item $P_k$ 为第 $k$ 个前向通道的传递函数
    \item $\Delta$ 为信号流图的特征式
    \item $\Delta_k$ 为第 $k$ 个前向通道的特征余子式
\end{enum}

$$
\Delta = 1 - \sum L_a + \sum L_bL_c - \sum L_dL_eL_f + \cdots
$$
\begin{enum}
\item $\sum L_a$ 信号流图中所有不同回路的回路传输之和
\item $\sum L_bL_c$ 所有互不接触回路中，每次取其中两个回路传输乘积之和
\item $\sum L_dL_cL_e$ 所有互不接触回路中，每次取其中三个回路传输乘积之和
\item 以此类推，正负号间隔
\end{enum}

$\Delta_k$ 的值为 $\Delta$ 中除去与第 $k$ 个前向通道有结点接触的回路

\section{线性系统的时域分析}

控制系统在一定输入信号的作用下，根据输出量的时域表达式，分析系统稳定性、瞬态性能、稳态性能

初始零状态：被控量相对工作点的增量及其各阶导数为0

瞬态：衰减振荡、单调变化

衰减振荡
\begin{enum}
    \item 延迟时间：输出响应第一次达到稳态值的 $50\%$ 所用时间
    \item 峰值时间
    \item 最大超调量
        $$
        \delta \% = \frac{y_{\rm max} - y(\infty)}{y(\infty)}
        $$
    \item 调整时间（过渡过程时间）
    \item 振荡次数
\end{enum}

单调变化
\begin{enum}
\item 上升时间$t_{\rm r}$：又稳态值的 $10\%$ 上升到 $90\%$ 的时间
\end{enum}

\subsection{一阶系统的瞬态性能}
一阶系统：由一阶微分方程描述，其传递函数是 $s$ 的一阶有理分式

\subsection{二阶系统的瞬态性能}
由二阶微分方程描述
$$
T^2 \frac{\d^2 }{}
$$

\section{线性系统的频域分析}

频率响应：在正弦输入作用下，系统稳态响应的振幅和相位与所加正弦输入之间的关系\\
非稳定系统需要扩展定义：线性定常系统对正弦输入信号的输出稳态分量与输入正弦信号的复数比
$$
G(\rmj\omega) = G(s) \big|_{s=\rmj\omega}
$$

\subsection{Bode图}

对数坐标图也称Bode图，由对数幅频特性与对数相频特性两条曲线组成
\begin{enum}
    \item 横轴角频率 $\omega$，按 $\lg$ 分度绘制
    \item 纵轴增益 $L(\omega) = 20 \lg|G(\rmj\omega)|$，单位dB
    \item 纵轴相角 $\varphi(\omega) = \angle G(\rmj\omega)$，单位rad
\end{enum}

Bode图的特征：
\begin{enum}
    \item 可表示更宽的频率范围，但由于 $\lg(0) = -\infty$ 无法展现直流响应
    \item $G(\rmj\omega)$ 的相乘转化为 $L(\omega), \varphi(\omega)$ 的加减，从而串联各环节的作用可简单相加
    \item 除延迟环节外的各典型环节在Bode图上均可用分段直线来近似
\end{enum}

\subsubsection{典型环节的Bode图}

\paragraph{比例环节}

比例环节 $G(\rmj\omega) = k$ 的幅频与相频特性均为常数
\begin{align*}
    &L(\omega) = 20 \lg|k| &
    &\varphi(\omega) = \angle k = 0^\circ \;\;\text{or}\;\; 180^\circ
\end{align*}

\paragraph{积分环节}

积分环节 $G(\rmj\omega)=1/\rmj\omega$ 的对数幅频特性图是一条 $-20{\;\rm dB/dec}$ 的直线，且$\omega = 1$ 处 $L(\omega) = 0$
\begin{align*}
    &L(\omega) =-20 \lg(\omega) &
    &\varphi(\omega) = -90^\circ
\end{align*}

\paragraph{微分环节}

微分环节 $G(\rmj\omega)=\rmj\omega$ 的对数幅频特性图是一条 $+20{\;\rm dB/dec}$ 的直线，且$\omega = 1$ 处 $L(\omega) = 0$
\begin{align*}
    &L(\omega) =20 \lg(\omega) &
    &\varphi(\omega) = 90^\circ
\end{align*}

\paragraph{惯性环节}

惯性环节 $G(\rmj\omega) = 1/(1+\rmj\omega T)$ 的频率特性：
\begin{align*}
    L(\omega) = -20 \lg \sqrt{1+(\omega T)^2} &
    \varphi(\omega) = -\arctan(\omega T)
\end{align*}
在 $\omega \ll 1/T$ 时 $L(\omega)$ 趋向于 $0{\;\rm dB/dec}$ 水平线，低频 $L(\omega)=0$
在 $\omega \gg 1/T$ 时 $L(\omega)$ 趋向于 $-20{\;\rm dB/dec}$ 水平线\\
用这两条直线来近似惯性环节的 $L(\omega)$，其误差在转折频率 $\omega = 1/T$ 处达到最大值 $3\;\rm dB$

在 $\omega = 0, \lg\omega\to-\infty$ 时 $\varphi = 0$\\
在 $\omega = +\infty, \lg\omega\to+\infty$ 时 $\varphi = -90^\circ$\\
在转折频率 $\omega = 1/T$ 处 $\varphi = -45^\circ$，且对数相频特性曲线关于此点中心对称

\begin{figure}[htpb]
\centering
    \includegraphics[scale=0.5]{figures/惯性环节Bode图.png}
\caption{惯性环节的Bode图}
\label{fig:惯性环节的Bode图}
\end{figure}

\paragraph{一阶微分环节}

一阶微分环节 $G(\rmj\omega) = 1+\rmj\omega T$ 的频率特性是惯性环节频率特性取反
\begin{align*}
    L(\omega) = 20 \lg \sqrt{1+(\omega T)^2} &
    \varphi(\omega) = \arctan(\omega T)
\end{align*}
其Bode图也相应有惯性环节Bode图关于纵轴0线对称得到
\begin{enum}
\item 低频 $L(\omega) = 0$，低频渐近线 $0{\;\rm dB/dec}$，高频渐近线 $+20{\;\rm dB/dec}$
\item 低频 $\varphi(\omega)=0$，高频 $\varphi(\omega)=90^\circ$，转折频率 $\varphi(\omega) = 45^\circ$
\end{enum}

\begin{figure}[htpb]
\centering
    \includegraphics[scale=0.5]{figures/一阶微分环节Bode图.png}
\caption{一阶微分环节的Bode图}
\label{fig:一阶微分环节Bode图}
\end{figure}

\paragraph{振荡环节}

振荡环节的频率特性（$0<\zeta<1$）
\begin{align*}
    &G(s) = \frac{1}{T^2s^2 + 2\zeta Ts + 1} 
    \qquad\Longrightarrow\qquad 
    G(\rmj\omega) = \frac{1}{1-T^2\omega^2 + \rmj(2\zeta T\omega)}
\end{align*}
\begin{align*}
    &L(\omega) = -20\lg\sqrt{(1-T^2\omega^2)^2+(2\zeta T\omega)^2} &
    &\varphi(\omega) = -\arctan \frac{2\zeta T\omega}{1-T^2\omega^2}
\end{align*}
低频 $L(\omega)=0$，低频渐近线 $0{\;\rm dB/dec}$，高频渐近线 $-40{\;\rm dB/dec}$\\
低频 $\varphi(\omega)=0$，高频 $\varphi(\omega) = -180^\circ$，转折频率 $\varphi(\omega) = -90^\circ$\\
$\zeta < \sqrt{2}/2$ 时存在谐振现象，在转折频率附近 $L(\omega)$ 峰值


\begin{figure}[htpb]
\centering
    \includegraphics[scale=0.6]{figures/振荡环节Bode图.png}
\caption{振荡环节的Bode图}
\label{fig:振荡环节Bode图}
\end{figure}

\paragraph{二阶微分环节}

二阶微分环节的频率特性是同参数振荡环节的频率特性取相反数
\begin{align*}
    &L(\omega) = 20\lg\sqrt{(1-T^2\omega^2)^2+(2\zeta T\omega)^2} &
    &\varphi(\omega) = \arctan \frac{2\zeta T\omega}{1-T^2\omega^2}
\end{align*}

\begin{figure}[htpb]
\centering
    \includegraphics[scale=0.65]{figures/二阶微分环节的Bode图.png}
\caption{二阶微分环节的Bode图}
\label{fig:二阶微分环节的Bode图}
\end{figure}


